第12章小信号与噪声分析

第11章确定的直流工作点解决了电路的静态问题：各节点电压、支路电流以及器件的 $g_m$、$g_{ds}$ 等偏置相关参数已经明确。但模拟电路的功能在于处理随时间变化的信号。当信号幅度足够小，器件的非线性特性可以在工作点附近用切线近似时，电路的行为可以用线性模型描述。这就是小信号分析的基本前提。本章先讨论小信号模型的建立与频率响应分析，然后进入噪声机理的讨论，最后给出低噪声设计的实用策略。

12.1.1 小信号分析：增益、带宽与相位裕度

12.1.2 小信号模型

小信号模型的核心思想：在直流工作点附近，把非线性器件替换为线性受控源与无源元件的组合。以MOS管为例，工作在饱和区时，漏极电流 $I_D$ 是栅源电压 $V_{GS}$ 和漏源电压 $V_{DS}$ 的函数。对 $I_D(V_{GS}, V_{DS})$ 在工作点做一阶泰勒展开，得到

\[ i_d = g_m v_{gs} + g_{ds} v_{ds} \]

其中 $g_m = \partial I_D / \partial V_{GS}$ 为跨导，$g_{ds} = \partial I_D / \partial V_{DS}$ 为输出电导。$g_{ds}$ 的倒数 $r_{ds} = 1/g_{ds}$ 称为输出电阻，它反映了沟道调制效应。基本的MOS管小信号模型如图12.1所示，包含栅源之间的开路（栅极输入阻抗极高）和漏源之间的受控电流源 $g_m v_{gs}$ 并联输出电阻 $r_{ds}$。

图1：基本的MOS管小信号模型

当考虑沟道调制效应时，输出电阻 $r_{ds}$ 与 $g_m$ 的关系可以写成 $r_{ds} \approx 1/(\lambda I_D)$，其中 $\lambda$ 为沟道长度调制系数。用电阻模拟沟道调制效应的小信号模型如图12.2所示。这个模型在手工估算时足够精确，但在仿真器中，BSIM4等工业标准模型会给出更完整的描述。

图2：用电阻模拟沟道调制效应的MOS管小信号模型

完整的MOS管小信号模型还需要考虑寄生电容：栅源电容 $C_{gs}$、栅漏电容 $C_{gd}$、源体电容 $C_{sb}$ 和漏体电容 $C_{db}$。这些电容在高频下形成信号通路，影响放大器带宽。完整模型如图12.3所示。

图3：完整的MOS管小信号模型

大信号描述器件在整个工作范围内的非线性行为，小信号是工作点附近的线性近似。两者的关系如图12.4所示。设计者需要先确定工作点（大信号），再在工作点附近做小信号分析，这是模拟电路设计的基本流程。

图4：大信号和小信号特点

二极管的小信号模型类似，只是把受控源替换为动态电阻 $r_d = V_T / I_D$（$V_T$ 为热电压，室温下约 26 mV）。图12.5给出了二极管小信号模型的电路结构，图12.6是用于分析二极管交流小信号频率特性的电路。

图5：二极管小信号模型电路

图6：二极管交流小信号（频率特性）分析电路

12.1.3 频率响应与带宽

小信号模型中的电容使增益随频率变化。以共源放大器为例，其低频增益为 $A_v = -g_m (r_{ds} \parallel R_D)$。随着频率升高，$C_{gd}$ 通过密勒效应在输入端等效为 $C_{gd}(1 + |A_v|)$，与 $C_{gs}$ 一起构成输入低通滤波器。输入极点频率约为

\[ f_p = \frac{1}{2\pi R_S [C_{gs} + C_{gd}(1 + |A_v|)]} \]

其中 $R_S$ 为信号源内阻。这个极点决定了放大器的 -3 dB 带宽。

多级放大器的总增益是各级增益的乘积，总带宽则受各级极点的共同影响。若两级放大器各有极点频率 $f_{p1}$ 和 $f_{p2}$，总增益函数为

\[ A(s) = \frac{A_0}{(1 + s/\omega_{p1})(1 + s/\omega_{p2})} \]

当 $f_{p1} = f_{p2} = f_p$ 时，总 -3 dB 带宽约为 $0.64 f_p$。多级放大器的带宽总是小于单级带宽。

12.1.4 相位裕度与稳定性

反馈放大器的稳定性由环路增益 $T(s) = A(s)\beta$ 决定。当 $|T(j\omega)| = 1$ 时，若相位滞后达到 $180^\circ$，负反馈变成正反馈，电路振荡。相位裕度定义为

\[ PM = 180^\circ + \angle T(j\omega_{unity}) \]

其中 $\omega_{unity}$ 为单位增益频率。根据Razavi《模拟CMOS集成电路设计》，工程上要求相位裕度至少 $45^\circ$，通常设计到 $60^\circ$ 以上。图12.7给出了一种典型的设计指标：相位裕度大于 $60^\circ$，单位增益带宽大于 50 MHz。这两个指标分别对应时域的稳定性和小信号建立速度：相位裕度不足时闭环响应出现振铃，带宽不足则无法处理高频信号分量。

图7：5）相位裕量＞60°，单位增益带宽＞50MHz

相位裕度不足时，闭环幅频响应在单位增益频率附近出现峰值，时域响应出现振铃。过大的相位裕度虽然稳定，但牺牲了带宽和建立速度。设计者需要在两者之间折中。

12.1.5 仿真方法

交流小信号仿真（AC Analysis）是获取频率响应的标准手段。仿真器在直流工作点处对电路做线性化，然后以正弦小信号扫描频率，计算各节点的增益和相位。图12.8展示了在Cadence ADE环境中设置交流小信号仿真的界面，图12.9是设置完成后的仿真环境。

图8：设置交流小信号仿真

图9：进行交流小信号仿真的ADE环境

仿真时需要注意几点。输入信号源的交流幅度通常设为 1 V（或 1 A），这样输出直接就是增益值。扫描范围应覆盖从远低于主极点到远高于单位增益频率的区间，一般取 1 Hz 到 10 倍单位增益频率。扫描点数用对数间隔，每十倍频程 10～20 个点即可获得平滑曲线。

12.1.6 噪声机理：热噪声、闪烁噪声等

12.1.7 热噪声

任何电阻性材料中的载流子无规则热运动都会产生热噪声。电阻 $R$ 的热噪声电压谱密度为

\[ \overline{v_n^2} = 4kTR \quad (\text{V}^2/\text{Hz}) \]

其中 $k = 1.38 \times 10^{-23}$ J/K 为玻尔兹曼常数，$T$ 为绝对温度。热噪声是白噪声，谱密度不随频率变化。在带宽 $B$ 内，噪声电压有效值为 $v_n = \sqrt{4kTRB}$。

MOS管的沟道电阻同样产生热噪声，等效为漏源之间的噪声电流源，谱密度为

\[ \overline{i_{nd}^2} = 4kT\gamma g_m \]

其中 $\gamma$ 为噪声系数因子，长沟道器件约 $2/3$，短沟道器件可增大到 2～3。$g_m$ 越大，热噪声电流越大，但信号增益也越大，因此输入等效噪声并不一定随 $g_m$ 单调变化。

12.1.8 闪烁噪声（1/f 噪声）

闪烁噪声的谱密度与频率成反比：

\[ \overline{v_{nf}^2} = \frac{K_f}{C_{ox} W L} \cdot \frac{1}{f} \]

其中 $K_f$ 为工艺相关常数，$C_{ox}$ 为单位面积栅氧化层电容，$W$ 和 $L$ 为沟道尺寸。闪烁噪声源于栅氧化层与硅界面处的陷阱对载流子的随机俘获与释放。增大器件面积可以降低闪烁噪声，这是低噪声设计中常用的手段。

闪烁噪声与热噪声的交叉频率称为拐角频率 $f_c$。在 $f_c$ 以上热噪声主导，以下闪烁噪声主导。典型 CMOS 工艺的 $f_c$ 在 1 kHz 到 100 kHz 之间，与器件尺寸和工艺质量有关。

12.1.9 散粒噪声

散粒噪声出现在载流子跨越势垒的器件中，如 PN 结和双极晶体管。其噪声电流谱密度为

\[ \overline{i_{ns}^2} = 2qI_D \]

其中 $q$ 为电子电荷。MOSFET 的栅极泄漏电流极小，散粒噪声通常可忽略，但输入保护二极管和 ESD 结构可能引入散粒噪声。

12.1.10 输入等效噪声

放大器内部多个噪声源分布在各级。要比较不同设计的噪声性能，需要把所有噪声源折算到输入端，得到输入等效噪声。折算方法：某级噪声除以从输入到该级的增益平方。图12.10说明了这一概念——第二级噪声要除以第一级增益才能折算到输入端，因此当第一级增益足够大时，第二级噪声基本可以忽略。

图10：由于第二级噪声要除以第一级增益才能折算到输入端，因此基本可以忽略，所以输入等效噪声为：

输入等效噪声电压谱密度 $S_n(f)$ 是频率的函数。在低频段 $1/f$ 噪声占主导，高频段热噪声占主导。总输入噪声电压（均方值）为

\[ \overline{v_{n,in}^2} = \int_{f_1}^{f_2} S_n(f) \, df \]

其中 $[f_1, f_2]$ 为信号带宽。这个积分值用于计算信噪比。

12.1.11 噪声仿真方法

噪声分析在交流小信号分析的基础上进行。仿真器计算每个噪声源到输出端的传递函数，然后按功率叠加，最后折算到输入端。输出噪声谱密度和输入等效噪声谱密度是噪声仿真的两个标准输出。

仿真设置中需要指定噪声输出节点、输入源和参考节点。输入源用于定义增益的参考点，折算到输入端时以该源的位置为基准。噪声分析频率范围应覆盖拐角频率两侧各至少两个十倍频程，以便观察 $1/f$ 噪声与白噪声的过渡。

12.1.12 低噪声设计：噪声匹配与优化策略

12.1.13 输入级设计

输入级是低噪声设计的核心。输入等效噪声主要由第一级决定，因此第一级的器件选择和偏置条件至关重要。

对于 MOS 输入级，增大 $g_m$ 可以降低热噪声电压（因为信号增益随 $g_m$ 增大，而噪声电流折算到输入端时除以 $g_m$）。输入管工作在强反型区并选择较大的宽长比，可以提升 $g_m$。但 $g_m$ 增大的代价是功耗和输入电容增加。输入电容过大会与前级输出电阻形成低通滤波，限制带宽。

闪烁噪声方面，增大 $W \times L$ 直接降低 $1/f$ 噪声。PMOS 的 $K_f$ 通常比 NMOS 小一到两个数量级，因为 PMOS 的沟道埋在硅内部，远离氧化层界面。因此精密放大器的输入级常用 PMOS 差分对。

12.1.14 噪声匹配

在射频和某些宽带应用中，噪声匹配指通过调整源阻抗使噪声系数最小。放大器总噪声系数为

\[ F = F_{min} + \frac{R_n}{G_S} \left| Y_S - Y_{opt} \right|^2 \]

其中 $F_{min}$ 为最小噪声系数，$R_n$ 为等效噪声电阻，$Y_S$ 为源导纳，$Y_{opt}$ 为最优源导纳。当 $Y_S = Y_{opt}$ 时噪声系数最小。这与功率匹配（$Y_S = Y_{in}^*$）通常不在同一条件下，设计者需要根据系统指标选择折中方案。

在基带模拟电路中，噪声匹配的概念是使源阻抗与输入管的噪声特性匹配。对于电压反馈放大器，输入等效噪声电压和噪声电流分别与源阻抗相互作用。当源阻抗较高时，噪声电流的影响增大；源阻抗较低时，噪声电压主导。设计者需要根据实际源阻抗选择输入器件类型和偏置。

12.1.15 斩波与自稳零技术

对于直流和低频精密应用，$1/f$ 噪声和失调是主要限制。斩波稳定技术把信号调制到高频，避开 $1/f$ 噪声主导的低频段，再解调回基带。自稳零技术则通过采样保持消除失调和低频噪声。这两种技术可以把等效输入失调电压降到 $\mu$V 量级，低频噪声密度降到 $10\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}$ 以下。

代价是斩波会在信号通路上引入纹波和开关噪声，自稳零则受限于采样带宽。选择哪种技术取决于应用对带宽、功耗和噪声的具体要求。

12.1.16 设计实例：传感器接口放大器

以一个压电加速度计接口为例。传感器输出阻抗约 500 pF 电容，信号频率范围 0.1 Hz 到 1 kHz，要求输入等效噪声低于 $1\ \mu\text{V}_{rms}$。

设计选择：输入级用 PMOS 差分对，$W/L = 2000/2$，偏置电流 100 $\mu$A。该尺寸下 $g_m \approx 1.5\ \text{mS}$，热噪声电压密度约 $6\ \text{nV}/\sqrt{\text{Hz}}$。$1/f$ 噪声拐角约 500 Hz，在 0.1 Hz 到 1 kHz 频段内，总输入噪声约 $0.4\ \mu\text{V}_{rms}$，满足指标。

验证方法：在 Cadence 中做噪声分析，扫描频率 0.01 Hz 到 10 kHz，查看输入等效噪声谱密度曲线，确认拐角频率和总积分噪声。若噪声超标，优先增大输入管面积降低 $1/f$ 噪声，其次增大偏置电流提升 $g_m$ 降低热噪声。

12.1.17 噪声与功耗的折中

低噪声设计本质上是用功耗换噪声。热噪声电压密度与功耗的关系为

\[ \overline{v_{n,th}^2} \propto \frac{4kT\gamma}{g_m} \propto \frac{4kT\gamma}{\sqrt{2\mu C_{ox}(W/L)I_D}} \]

要降低噪声电压一倍，需要增大 $g_m$ 四倍，即偏置电流增大四倍或宽长比增大四倍。后者增加输入电容，前者增加功耗。设计者应根据系统预算确定噪声指标，在满足指标的前提下选择功耗最小的方案。

12.1.18 本章小结

小信号分析把非线性电路在工作点附近线性化，使增益、带宽和相位裕度可以用线性系统理论分析。交流仿真在直流工作点基础上自动完成线性化，给出频率响应曲线。噪声分析把器件内部的随机涨落折算到输入端，形成输入等效噪声谱密度。低噪声设计的关键在于第一级：选择合适的器件类型和尺寸，在功耗与噪声之间取折中。斩波和自稳零技术为低频精密应用提供了额外的设计维度。

下一章将进入瞬态与非线性分析，讨论大信号行为、压摆率、建立时间和谐波失真等问题。